Antes de nada, aclaro que doy información general, no asesoría legal; sin ver tu expediente no puedo darte un consejo concreto.
Lo primero que hay que hacer es pasar el seguimiento verbal a escrito. Decir "esta semana termina" por teléfono no tiene ningún valor probatorio. A partir de ahora, resume cada reunión por email: "en nuestra reunión de hoy se indicó que la entrega será en tal fecha".
El segundo paso es ver qué contempla el contrato por retraso. Si hay cláusula penal, para aplicarla normalmente hay que constituir en mora primero, es decir, enviar un requerimiento formal. El contenido y el plazo de ese requerimiento son importantes, no descargues una plantilla y la envíes tal cual.
El tercer paso es asegurar lo que tienes: pide la entrega del código actual, la base de datos y, si las hay, los archivos de diseño. Cuando el conflicto escala, esto es lo que más se pierde; pedirlo mientras la relación es buena es mucho más fácil.
Si estás pensando en traspasarlo, este tercer paso es imprescindible. Si no tienes un código funcional en mano, no hay traspaso posible, sería empezar de cero.